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Ejemplo (Unidad 3. La Derivada)

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mari_01
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Tema abierto Ejemplo (Unidad 3. La Derivada)

Mensaje por mari_01 el Sáb 26 Feb 2011 - 21:46

Que tal comunidad ESAD.

Voy a calcular la derivada de raíz cubica de x.

Sea f(x) = raíz cubica de x = x^(1 / 3), entonces:

f(x) = x^(1 / 3)

Antes de empezar a calcular la derivada de la función f buscaremos a que es igual:

[(x + Δ)^(1 / 3)] - [x^(1 / 3)]

Por que necesitaremos conocer alguna forma equivale a la anterior de tal forma que nos permita calcular el limite que encontraremos al calcular la derivada.

Recordemos del álgebra básica que:

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

A esta propiedad se le conoce como diferencia de cubos.

Para encontrar la expresión que buscamos nos fijamos en que a la expresión:

(x + Δ) - x

Le podemos aplicar la propiedad de diferencia de cubos de la siguiente forma:

a³ = x + Δ => a = (x + Δ)^(1 / 3)
b³ = x => b = x^(1 / 3)

(Sacamos raíz cubica en ambos lados de la igualdad)

(El símbolo "=>" es el símbolo para implicación. Lo pueden leer como "ímplica", a veces se lee como "entonces")

Como a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²), entonces:

a = (x + Δ)^(1 / 3)
b = x^(1 / 3)
ab = [(x + Δ)^(1 / 3)][x^(1 / 3)]
a² = [(x + Δ)^(1 / 3)]² = (x + Δ)^(2 / 3)
b² = [x^(1 / 3)]² = x^(2 / 3)

En las dos últimas ecuaciones utilizamos propiedades de los exponentes.

Por lo que:

a³ - b³ = (x + Δ) - x = (a - b)(a² + ab + b²) =
..........= {[(x + Δ)^(1 / 3)] - [x^(1 / 3)]}{[(x + Δ)^(2 / 3)] + [(x + Δ)^(1 / 3)][x^(1 / 3)] + x^(2 / 3)}

Entonces:

(x + Δ) - x = [(x + Δ)^(1 / 3) - x^(1 / 3)]{[(x + Δ)^(2 / 3)] + [(x + Δ)^(1 / 3)][x^(1 / 3)] + x^(2 / 3)}

De la ecuación anterior despejamos a:

[(x + Δ)^(1 / 3)] - [x^(1 / 3)]

Que es la que nos interesa, entonces:

[(x + Δ)^(1 / 3)] - [x^(1 / 3)] = [(x + Δ) - x] / {[(x + Δ)^(2 / 3)] + [(x + Δ)^(1 / 3)][x^(1 / 3)] + x^(2 / 3)}

Como:

(x + Δ) - x = x + Δ - x = Δ, entonces:

[(x + Δ)^(1 / 3)] - [x^(1 / 3)] = Δ / {[(x + Δ)^(2 / 3)] + [(x + Δ)^(1 / 3)][x^(1 / 3)] + x^(2 / 3)}

Ahora calculamos la derivada de f.

La derivada de f esta dada por el siguiente limite:

f'(x) = lim {[f(x + Δ) - f(x)] / Δ} =
.........Δ -> 0
= lim {[(x + Δ)^(1 / 3)] - [x^(1 / 3)]} / Δ =
...Δ -> 0
= lim (Δ / {[(x + Δ)^(2 / 3)] + [(x + Δ)^(1 / 3)][x^(1 / 3)] + x^(2 / 3)}) / Δ =
...Δ -> 0
= lim Δ / (Δ{[(x + Δ)^(2 / 3)] + [(x + Δ)^(1 / 3)][x^(1 / 3)] + x^(2 / 3)}) =
...Δ -> 0

Se cancela la delta que esta en el numerador de la fracción con la que esta en el denominado de la fracción y tenemos que:

= lim (1 / {[(x + Δ)^(2 / 3)] + [(x + Δ)^(1 / 3)][x^(1 / 3)] + x^(2 / 3)}) =
...Δ -> 0
= 1 / {[(x + 0)^(2 / 3)] + [(x + 0)^(1 / 3)][x^(1 / 3)] + x^(2 / 3)} =
= 1 / {[x^(2 / 3)] + [x^(1 / 3)][x^(1 / 3)] + x^(2 / 3)} =
= 1 / {2[x^(2 / 3)] + [x^[(1 / 3) + (1 / 3)]} =
= 1 / {2[x^(2 / 3)] + [x^(2 / 3)} =
= 1 / {3[x^(2 / 3)]} =
= (1 / 3)[1 / x^(2 / 3)]

Por lo tanto, la derivada de f(x) = x^(1 / 3) es:

f'(x) = (1 / 3)[1 / x^(2 / 3)]

Como f'(x) no esta definida en cero, entonces la función f no es derivable en x = 0, es decir, la función f no tiene derivada en el el punto x = 0.

El procedimiento que utilice para calcular la derivada de la función f es un poco, llamemosle, brusco o poco elegante, pero nos sirvió para nuestros fines. Hay otras formas "mejores" para calcular la derivada de f por medio de la definición.

Otra forma mejor hubiera sido multiplicar directamente a la expresión del limite por la fracción:

(a² + ab + b²) / (a² + ab + b²)

Sabiendo que:

a = (x + Δ)^(1 / 3)
b = x^(1 / 3)
ab = [(x + Δ)^(1 / 3)][x^(1 / 3)]
a² = [(x + Δ)^(1 / 3)]² = (x + Δ)^(2 / 3)
b² = [x^(1 / 3)]² = x^(2 / 3)

Con esto hubieramos llegado a lo mismo.

De hecho en el fondo es lo mismo, sólo que quise hacer ver de donde habían salido las cosas.

Bueno, creo que eso es todo por ahora, espero que les sirva de algo.

Nos vemos.

Invitado
Invitado

Tema abierto Re: Ejemplo (Unidad 3. La Derivada)

Mensaje por Invitado el Sáb 26 Feb 2011 - 22:38

Esto es para la actividad 3 de la unidad 3 de derivada ¿verdad?

mari_01
De nuevo ingreso en ESADmx
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Tema abierto Re: Ejemplo (Unidad 3. La Derivada)

Mensaje por mari_01 el Dom 27 Feb 2011 - 12:26

Morfeo escribió:Esto es para la actividad 3 de la unidad 3 de derivada ¿verdad?

Así es, sólo que este es un ejemplo de como aplicar la definición de la Derivada a una función en particular.

De hecho este es un caso particular del ejercicio 16 de la página 60:

f(x) = a(x^n) + N

Con:

a = 1
n = 1 / 3
N = 0

La derivada de f(x) = a(x^n) + N es:

f'(x) = an[x^(n - 1)]

Claro, esto no se podrá utilizar hasta que se concluya la Unidad 3, pero con el ejemplo que hice se puede ver que la derivada de f(x) = a(x^n) + N si es de la forma:

f'(x) = an[x^(n - 1)]

Sin importar si n es un número entero o cualquier otro número real.

Claro que esto no demuestra en general que esto se cumple, si no que nos da la intuición de que esto en realidad sucede.

Para ver una demostración de que la derivada de:

f(x) = a(x^n) + N Con a,n y N números reales.

Es:

f'(x) = an[x^(n - 1)]

Tenemos que irnos a los libros.

Suerte!! y nos vemos Morfeo.

Invitado
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Tema abierto Re: Ejemplo (Unidad 3. La Derivada)

Mensaje por Invitado el Dom 27 Feb 2011 - 12:43

mari_01 escribió:
De hecho este es un caso particular del ejercicio 16 de la página 60:


Pues muchas gracias, se ve que te desenvuelves en esto a un nivel alto, ¿de que libro es el ejercicio? ¿Leithold?, ojala y sigas teniendo el tiempo de postear estos ejemplos.

mari_01
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Tema abierto Re: Ejemplo (Unidad 3. La Derivada)

Mensaje por mari_01 el Dom 27 Feb 2011 - 14:59

Que tal Morfeo, el ejercicio no lo saque de ningún libro ya que lo resolví yo.

Busque que fuera apropiado para el tema de Derivadas y trate de explicarlo lo mejor que pude.

El ejercicio 16 de la página 60 es el que viene en el programa desarrollado para la materia de Calculo que baje de esta página (ESADmx).

Para repasar calculo diferencia e integral casi no uso el libro de Leithold y para hacer muchos ejercicios como estos uso el libro de "Cálculo Diferencial e Integral de William Granville" que trae muchos (creo que es uno de los mejores para hacer muchos ejercicios).

Trataré de postear algunas otras cosas y de aclarar dudas en la medida que me sea posible (a ver si no los confundo mas jaja).

Se ve que la siguiente unidad (Unidad 4. Aplicaciones de la Derivada) se va ha poner interesante ya que ahí se verán aplicaciones de la derivada.

Nos vemos Morfeo.

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